Задать вопрос юристу
 <<
>>

Задачи теории массового обслуживания (теории очередей)

Существование очередей - это нормальное состояние производственной системы; ими довольно эффективно можно управлять с помощью средств системного менеджмента и проектирования. Рисунок 6.4 иллюстрирует экономическую сущность проблемы очередей.

Затраты

Оптимальная пропускная способность

Совокупные затраты

Затраты обслуживания

Затраты ожидания в очереди

Рис.

6.4. Экономическая сущность проблемы очередей

Типичная система массового обслуживания включает три основных компонента:

У исходную конечную или бесконечную генеральную совокупность пользователей (клиентов) рассматриваемой сервисной системы;

У сервисную систему;

У сценарии выхода клиентов из сервисной системы (возвратиться обратно в исходную генеральную совокупность или покинуть ее).

Конечная генеральная совокупность характеризуется тем, что когда пользователь покидает свое место в исходной совокупности (например, станок ломается и нуждается в ремонте) и число пользователей в генеральной совокупности сокращается на одну единицу, это приводит к снижению вероятности появления следующей заявки на обслуживание. И наоборот, после того как клиент обслужен, генеральная совокупность снова увеличивается, и вероятность появления заявки на обслуживание возрастает.

В бесконечной генеральной совокупности число пользователей настолько велико, что изменение ее размеров вследствие прибытия или возвращения обслуженного клиента в свою исходную совокупность не оказывает существенного влияния на вероятность появления заявки на обслуживание.

Если заявки на обслуживание поступают в сервисную систему абсолютно произвольно, временные интервалы между соседними заявками распределяются по экспоненциальному закону

/ (і)=К",

где X - среднее количество заявок, поступающих за определенный период времени.

Чтобы найти число П поступающих заявок в течение определенного периода Т, часто можно воспользоваться дискретным распределением Пуассона

е~х ? X

Рт (п) = для П = 0, 1, 2, 3, 4, ...,

п\

где РТ(П) - вероятность п заявок.

На рис. 6.5 представлен пример распределения вероятности поступления заявок в единицу времени при среднем количестве заявок Х = 4.

0,2

0,15

0,1

0,05

0 П- _П_п_ли п

01 23456789 10

Рис. 6.5. Вероятность поступления заявок в единицу времени

Типовые характеристики входящего потока заявок клиентов представлены на рис. 6.6.

Равномерное

Распределение

Экспоненциальное или пуассоновское

Другое Управляемый Вид Неуправляемый Одиночная заявка Единица входящего потока Групповая заявка Уровень

терпеливости

клиентов

Терпеливый (встал в очередь и ожидает)

Нетерпеливый

Прибыл, осмотрел очередь и ушел

Прибыл, немного постоял в очереди и ушел Рис. 6.6. Характеристики входящего потока заявок клиентов

Основные параметры очередей •

Длина очереди: -

бесконечная (дорожная пробка), -

с ограниченной пропускной способностью (автостоянка). •

Дисциплина очереди: -

первым прибыл, первым обслужен (First Come, First Served - FCFS), -

первоочередное обслуживание по предварительным заказам, -

первоочередное обслуживание в случае крайней необходимости, -

последний пришел, первым обслужен (например, материалы уложены так, что достать их можно только сверху, или автомашины на пароме), -

первоочередное обслуживание клиентов с наименьшим временем обслуживания и др. •

Структура очередей: -

одноканальная однофазная и многофазная, -

многоканальная однофазная (кассы аэровокзала) и многофазная (прием пациента в больнице).

Измерители состояния очереди: •

среднее время, которое тратит каждый клиент в очереди; •

средняя длина очереди; •

среднее время нахождения клиента в системе (время ожидания плюс время обслуживания); •

среднее число клиентов в системе; •

вероятность того, что узел обслуживания будет свободен; •

коэффициент использования системы; •

вероятность определенного числа клиентов в системе.

Модели очередей

Наиболее простой моделью очередей является одноканальная однофазная модель с пуассоновским распределением прибытия и экспоненциальным временем обслуживания. Она предполагает следующие условия: •

дисциплина очереди - «первым прибыл, первым обслужен»; •

прибытия независимы от предыдущих прибытий, но их среднее число остается постоянным; •

прибытия описываются пуассоновским распределением и поступают из неограниченного источника; •

время обслуживания изменяется от одного клиента к другому, эти отрезки времени независимы друг от друга, но их среднее время известно; •

время обслуживания подчинено отрицательному экспоненциальному закону распределения; •

время обслуживания меньше времени между прибытиями.

При соблюдении этих условий основные параметры очереди легко

рассчитываются по простым формулам.

Разработан целый ряд других относительно простых моделей очередей (например, многоканальная однофазная, одноканальная с постоянным временем обслуживания, одноканальная с ограниченным размером источника), для которых также имеются расчетные формулы.

Многие реальные очереди описываются комплексом сложных аналитических моделей, являющихся объектом изучения научной дисциплины «Исследование операций».

Ряд проблем очередей обычными математическими приемами не могут быть описаны. В этих случаях применяется имитационное компьютерное моделирование.

Пример 1

Автомастерская способна обслуживать в среднем три автомобиля в час. Клиенты появляются в среднем по два человека в час и обслуживаются по правилу FIFO - «первым прибыл - первым обслужен».

Принимая время обслуживания соответствующим отрицательному экспоненциальному закону, а поток клиентов - соответствующим распределению Пуассона, необходимо определить основные характеристики очереди: -

среднее число клиентов в системе (Ls); -

среднее время ожидания в системе - время ожидания плюс время обслуживания (Ws); -

среднее число автомобилей, ожидающих своей очереди (Lq); -

среднее время ожидания автомобиля в очереди (Wq); -

коэффициент загрузки/использования системы r (процент времени, когда бригада занята); -

вероятность 0 (нуля) автомобилей в системе (Po); -

вероятность более чем к автомобилей в системе (Pn > к), для к = 0,

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; -

средняя скорость прибытий (l); -

средняя скорость обслуживания (m).

Расчетные формулы:

i,i, i , -2 - .

L W =—; = ; W = ,

s m -1 s m -1 m(m -1) m(m -1)

l l f 1Лк+1

r = Po = 1 ; P„)k = (-) .

m m V m J

Пример 2

Автомастерская решила организовать второе место обслуживания и нанять вторую бригаду. Принимая те же исходные условия, что и в примере 1, определите основные характеристики очереди и сравните с результатами решения задачи в примере 1. lM

1

M!

+

V m

V m

n=0

Расчетные формулы для многоканальной модели очередей:

1 для Mm > ^

Mm Mm -1

м-11 / l V

Р° =

=о n!

где M - число каналов обслуживания; П = 0, 1, 2, . . . , M - 1. Среднее число клиентов в системе

l

lm\

VmJ jT Р° + -.

(M -1)!(Mm -1)2 m

Среднее время, проводимое клиентом в системе, l

LS

l

m\

m

2 P°

WS =

(M - l)!(Mm -1) Среднее число клиентов в очереди на обслуживание

Lq = LS ?

m

Среднее время, проводимое клиентом в очереди на обслуживание,

Wq = WS - — = — ? m l 6.3.

<< | >>
Источник: А.А. Дульзон. Разработка управленческих решений: учебник - Томск: Изд-во Томского политехнического университета. - 295 с.. 2009 {original}

Еще по теме Задачи теории массового обслуживания (теории очередей):

  1. Законы сохранения в теории массового обслуживания
  2. Глава 3 \ Элементы теории вероятностей и очередей
  3. Тема 1 ПРЕДМЕТ, МЕТОД, ЗАДАЧИ, ОСНОВНЫЕ КАТЕГОРИИ И ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СТАТИСТИКИ
  4. Эволюция теории организации. Формирование и развитие теории организации
  5. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
  6. 2. Место теории государства и права в системе общественных и юридических наук. Функции теории государства и права.
  7. ТЕОРИИ МЕЖДУНАРОДНОЙ ТОРГОВЛИ ТЕОРИИ АБСОЛЮТНОГО И СРАВНИТЕЛЬНОГО ПРЕИМУЩЕСТВ Модель абсолютного преимущества
  8. Теории кредита. 1)
  9. § 4. ТЕОРИИ НОВОЙ СТОИМОСТИ
  10. Функции теории.
  11. Теории мировой экономики
- Cвязи с общественностью - PR - Бренд-маркетинг - Деловая коммуникация - Деловое общение и этикет - Делопроизводство - Интернет - маркетинг - Информационные технологии - Консалтинг - Контроллинг - Корпоративное управление - Культура организации - Лидерство - Литература по маркетингу - Логистика - Маркетинг в бизнесе - Маркетинг в отраслях - Маркетинг на предприятии - Маркетинговые коммуникации - Международный маркетинг - Менеджмент - Менеджмент организации - Менеджмент руководителей - Моделирование бизнес-процессов - Мотивация - Организационное поведение - Основы маркетинга - Производственный менеджмент - Реклама - Сбалансированная система показателей - Сетевой маркетинг - Стратегический менеджмент - Тайм-менеджмент - Телекоммуникации - Теория организации - Товароведение и экспертиза товаров - Управление бизнес-процессами - Управление знаниями - Управление инновационными проектами - Управление качеством товара - Управление персоналом - Управление продажами - Управление проектами - Управленческие решения -